>> Заголовок "Cookie: _authorized=admin" пробовали подставить?
>> Рекомендую эти заголовки тоже выставить, гении могли додуматься сделать и их проверки:
>> X-Requested-With: XMLHttpRequest
>> Referer: http://192.168.1.1/html/reboot.html
> Вновь при перезагрузке получил запрос в fiddler, роутер перезагрузился. Я снова подключился
> к нему, нажал Replay на запросе в fiddler и он вернул
> ошибку. Почему? Потому что я не умею пользоваться программой?:D
> Но суть не в этом. После этого я зашёл в админку, залогинился,
> а затем вернулся в fiddler и нажал Replay на запросе и
> роутер перезагрузился. Как это понимать?

Насколько я понял, из ответа первого запроса не надо передавать никаких параметров во второй, нужно тупо сделать два последовательных фиксированных запроса, один за другим - запрос на авторизации потом запрос на перезагрузку.

Первый запрос взведет внутри роутера флаг "авторизовались", второй просто выполнится.